SciPy 적분 결과 시각화

SciPy 적분 결과 시각화

1. 서론

적분은 수학과 과학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하는 연산입니다. 특정 구간에서의 면적을 구하거나, 변화하는 양을 누적하는 데 사용됩니다. SciPy의 integrate 모듈은 다양한 수치 적분 방법을 제공하며, 이를 통해 복잡한 함수의 적분을 효율적으로 수행할 수 있습니다.

하지만 적분 결과를 수치로만 확인하는 것보다 그래프를 통해 시각적으로 분석하면 이해가 훨씬 쉬워집니다. 이번 포스팅에서는 SciPy와 Matplotlib를 활용해 적분 결과를 시각화하는 방법에 대해 살펴보겠습니다.

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2. 적분 대상 함수 정의

먼저 적분할 함수를 정의하고, 이를 시각화해 보겠습니다. 예제에서는 다음과 같은 함수 $ f(x) = x^2 \times e^{-x} $를 사용하겠습니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 함수 정의
def func(x):
    return x**2 * np.exp(-x)

# x 범위 설정
x = np.linspace(0, 10, 1000)
y = func(x)

# 그래프 시각화
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='$x^2 e^{-x}$', color='b')
plt.title('적분 대상 함수: $x^2 e^{-x}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

위 코드를 실행하면 적분할 함수의 형태를 시각적으로 확인할 수 있습니다.

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3. SciPy를 이용한 수치 적분

scipy.integrate.quad 함수를 이용해 특정 구간에서 적분을 수행할 수 있습니다. 다음은 $ x = 0 $에서 $ x = 10 $까지의 적분을 수행하는 예제입니다.

from scipy.integrate import quad

# 적분 수행
definite_integral, error = quad(func, 0, 10)

print(f"적분 결과: {definite_integral:.4f}")
print(f"오차 추정값: {error:.4e}")

이 결과를 통해 적분값과 오차를 확인할 수 있습니다.

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4. 적분 결과 시각화

적분된 면적을 시각적으로 표현하면 이해가 훨씬 쉬워집니다. 다음은 적분 영역을 음영 처리하는 방법입니다.

# 적분 영역 시각화
x_fill = np.linspace(0, 10, 1000)
y_fill = func(x_fill)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='$x^2 e^{-x}$', color='b')
plt.fill_between(x_fill, y_fill, color='skyblue', alpha=0.5, label='적분 영역')
plt.title('적분 결과 시각화')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

이제 적분 영역이 시각적으로 강조되어, 어떤 구간에서 면적이 계산되었는지 쉽게 이해할 수 있습니다.

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5. 여러 구간에서 적분 수행 및 시각화

적분 구간을 여러 부분으로 나누고, 각 구간의 적분 결과를 시각화할 수도 있습니다. 다음은 구간을 $ [0, 3] $, $ [3, 7] $, $ [7, 10] $으로 나누어 적분하는 예제입니다.

# 구간 설정
intervals = [(0, 3), (3, 7), (7, 10)]
colors = ['lightcoral', 'lightgreen', 'lightblue']

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='$x^2 e^{-x}$', color='b')

# 각 구간에 대해 적분 수행 및 시각화
for (a, b), color in zip(intervals, colors):
    x_fill = np.linspace(a, b, 500)
    y_fill = func(x_fill)
    plt.fill_between(x_fill, y_fill, color=color, alpha=0.5, label=f'적분 구간: [{a}, {b}]')
    result, _ = quad(func, a, b)
    print(f"구간 [{a}, {b}]의 적분값: {result:.4f}")

plt.title('여러 구간에서의 적분 시각화')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

위와 같이 구간별 적분을 수행하고, 색상으로 구분해 시각화하면 구간별 기여도를 직관적으로 이해할 수 있습니다.

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6. 누적 적분 시각화

누적 적분을 시각화하면 특정 구간까지의 적분값이 어떻게 변화하는지 확인할 수 있습니다. scipy.integrate.cumtrapz를 활용해 누적 적분을 수행하고 시각화해 보겠습니다.

from scipy.integrate import cumtrapz

# 누적 적분 수행
cumulative_integral = cumtrapz(y, x, initial=0)

# 시각화
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, cumulative_integral, label='누적 적분값', color='g')
plt.title('누적 적분 시각화')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('누적 적분값')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

이 그래프를 통해 $ x $ 값이 증가함에 따라 누적 적분값이 어떻게 변화하는지 확인할 수 있습니다.

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7. 결론

이번 포스팅에서는 SciPy의 integrate 모듈을 활용해 적분을 수행하고, Matplotlib을 이용해 적분 결과를 시각화하는 방법을 살펴보았습니다. 시각화는 적분 결과를 직관적으로 이해하는 데 큰 도움을 주며, 특히 여러 구간에서의 적분이나 누적 적분을 분석할 때 유용합니다.

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참고 자료

• SciPy 공식 문서: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/integrate.html
• Matplotlib 공식 문서: https://matplotlib.org/stable/contents.html