Knapsack 비대칭키 암호화 알고리즘

Knapsack 비대칭키 암호화 알고리즘

안녕하세요! '소프트웨어 공장' 블로그를 방문해주셔서 감사합니다. 오늘은 비대칭키 암호화 알고리즘 중 하나인 Knapsack 암호화 알고리즘에 대해 알아보도록 하겠습니다. Knapsack 암호화 알고리즘은 초기에 비대칭키 암호화 방식으로 주목받았지만 이후 다양한 연구를 통해 보안 문제점이 발견된 알고리즘입니다. 이번 포스트에서는 Knapsack 암호화 알고리즘의 기본 개념을 설명하고, Java와 Linux C 언어로 구현한 예제를 소개하겠습니다.

Knapsack 암호화 알고리즘이란?

Knapsack 암호화 알고리즘은 1978년 Ralph Merkle와 Martin Hellman이 제안한 초기 공개키 암호 시스템 중 하나입니다. 이 알고리즘은 "배낭 문제(Knapsack Problem)"를 기반으로 하고 있으며, NP-난해 문제의 어려움을 이용해 암호화와 복호화를 수행하는 비대칭키 암호화 기법입니다.

배낭 문제란?

배낭 문제는 알고리즘 및 암호학에서 매우 중요한 문제로, 특정 무게 제한이 있는 배낭에 주어진 물건들을 최적으로 담는 문제를 의미합니다. Merkle-Hellman Knapsack 암호화는 이러한 배낭 문제를 기반으로 한 체계로, 쉽게 풀이할 수 없는 문제의 특성을 이용해 데이터 암호화를 수행합니다.

Knapsack 암호화는 크게 두 가지 과정으로 나뉩니다:

• 키 생성(Key Generation): 비밀키와 공개키를 생성합니다.
• 암호화/복호화(Encryption/Decryption): 메시지를 암호화하거나 복호화합니다.

Knapsack 암호화의 과정

1. 키 생성 (Key Generation)

Knapsack 암호화의 키 생성 과정은 다음과 같습니다.

1. 슈퍼 증가 수열(Superincreasing Sequence): 비밀키로 사용될 슈퍼 증가 수열 (W = (w_1, w_2, \ldots, w_n))을 선택합니다. 이 수열의 각 원소는 이전 원소들의 합보다 항상 큽니다.
2. 모듈러스와 곱셈 상수 선택: 두 개의 상수 (M) (모듈러스, (M > \sum W))와 (N) (서로소, 즉 gcd(M, N) = 1) 을 선택합니다.
3. 공개키 생성: 공개키 (B = (b_1, b_2, \ldots, b_n))를 생성합니다. 이때, (b_i = (w_i \times N) \mod M)으로 정의됩니다.

2. 암호화 (Encryption)

암호화 과정은 단순합니다. 메시지를 이진 벡터로 변환한 후 공개키와 곱해 합산하여 암호문을 생성합니다.

• 메시지 (M = (m_1, m_2, \ldots, m_n))이 주어지면, 암호문 (C)는 다음과 같이 계산됩니다:
  [C = \sum (m_i \times b_i)]

3. 복호화 (Decryption)

복호화 과정은 다음과 같습니다.

1. 암호문 (C)에 대해 (C' = (C \times N^{-1}) \mod M)을 계산하여 원래의 슈퍼 증가 수열을 이용해 복호화합니다.
2. (C')을 이용해 원래의 이진 벡터를 추정합니다.

이제 Java와 Linux C 언어로 구현한 예제를 살펴보겠습니다.

Java로 구현한 Knapsack 암호화 예제

다음은 Knapsack 암호화 알고리즘을 Java로 구현한 예제 코드입니다.

import java.util.Arrays;

public class KnapsackCryptosystem {
    private static int[] superIncreasingSequence = {2, 3, 6, 13, 27, 52};
    private static int M = 105;
    private static int N = 31;
    private static int[] publicKey;

    public static void main(String[] args) {
        // 공개키 생성
        publicKey = generatePublicKey(superIncreasingSequence, M, N);
        System.out.println("Public Key: " + Arrays.toString(publicKey));

        // 메시지 암호화
        int[] message = {1, 0, 1, 0, 1, 1};
        int cipherText = encrypt(message, publicKey);
        System.out.println("Encrypted Message: " + cipherText);

        // 메시지 복호화
        int[] decryptedMessage = decrypt(cipherText, superIncreasingSequence, M, N);
        System.out.println("Decrypted Message: " + Arrays.toString(decryptedMessage));
    }

    private static int[] generatePublicKey(int[] superSeq, int m, int n) {
        int[] publicKey = new int[superSeq.length];
        for (int i = 0; i < superSeq.length; i++) {
            publicKey[i] = (superSeq[i] * n) % m;
        }
        return publicKey;
    }

    private static int encrypt(int[] message, int[] pubKey) {
        int cipherText = 0;
        for (int i = 0; i < message.length; i++) {
            cipherText += message[i] * pubKey[i];
        }
        return cipherText;
    }

    private static int[] decrypt(int cipherText, int[] superSeq, int m, int n) {
        int nInverse = modInverse(n, m);
        int cPrime = (cipherText * nInverse) % m;
        int[] decryptedMessage = new int[superSeq.length];

        for (int i = superSeq.length - 1; i >= 0; i--) {
            if (cPrime >= superSeq[i]) {
                decryptedMessage[i] = 1;
                cPrime -= superSeq[i];
            } else {
                decryptedMessage[i] = 0;
            }
        }
        return decryptedMessage;
    }

    private static int modInverse(int a, int m) {
        for (int x = 1; x < m; x++) {
            if ((a * x) % m == 1) {
                return x;
            }
        }
        return 1;
    }
}

위 코드는 간단한 Knapsack 암호화 알고리즘의 예제입니다. 공개키를 생성하고 메시지를 암호화한 뒤, 다시 복호화하는 과정을 보여줍니다.

Linux C로 구현한 Knapsack 암호화 예제

다음은 Linux 환경에서 C 언어로 구현한 Knapsack 암호화 알고리즘의 예제 코드입니다.

#include <stdio.h>

int superIncreasingSequence[] = {2, 3, 6, 13, 27, 52};
int M = 105;
int N = 31;
int publicKey[6];

void generatePublicKey() {
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        publicKey[i] = (superIncreasingSequence[i] * N) % M;
    }
}

int encrypt(int message[], int length) {
    int cipherText = 0;
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        cipherText += message[i] * publicKey[i];
    }
    return cipherText;
}

void decrypt(int cipherText, int decryptedMessage[]) {
    int nInverse = 0;
    for (int x = 1; x < M; x++) {
        if ((N * x) % M == 1) {
            nInverse = x;
            break;
        }
    }

    int cPrime = (cipherText * nInverse) % M;
    for (int i = 5; i >= 0; i--) {
        if (cPrime >= superIncreasingSequence[i]) {
            decryptedMessage[i] = 1;
            cPrime -= superIncreasingSequence[i];
        } else {
            decryptedMessage[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    generatePublicKey();
    printf("Public Key: ");
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        printf("%d ", publicKey[i]);
    }
    printf("\n");

    int message[] = {1, 0, 1, 0, 1, 1};
    int cipherText = encrypt(message, 6);
    printf("Encrypted Message: %d\n", cipherText);

    int decryptedMessage[6];
    decrypt(cipherText, decryptedMessage);
    printf("Decrypted Message: ");
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        printf("%d ", decryptedMessage[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

위 C 코드는 Java와 동일한 방식으로 Knapsack 암호화를 구현하고 있습니다. 공개키를 생성하고, 메시지를 암호화한 후 복호화하는 전체 과정을 포함하고 있습니다.

결론

Knapsack 암호화 알고리즘은 암호학의 초기 비대칭키 암호 방식으로 중요한 위치를 차지했던 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 나중에 보안적인 약점이 발견되면서 실질적으로 사용되지 않지만, 암호화의 기본 개념을 이해하는 데 매우 유용합니다. 특히 NP-난해 문제를 기반으로 암호 시스템을 설계하는 아이디어는 현대의 다양한 암호 알고리즘의 기초가 되었습니다.

Java와 C 언어로 구현한 예제를 통해 Knapsack 암호화의 기본 과정을 쉽게 이해할 수 있었기를 바랍니다. 앞으로도 더욱 다양한 암호화 알고리즘을 소개해 드리겠습니다. 감사합니다!